Question

4．△ABC中，D是BC的中点，∠BAC=120°，sinB=2sinC，AD=1，则AC的长为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
• D． $\frac{4\sqrt{7}}{7}$

Answer 1

分析 根据正余弦定理求出a与c的关系和cosB，即可得答案．

解答 解：由余弦定理：可得cos120°=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
正余弦定理：sinB=2sinC，可得b=2c．
∴a=$\sqrt{7}c$．
那么cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
在△ABD中，D是BC的中点，即BD=$\frac{1}{2}$a=$\frac{\sqrt{7}}{2}c$，AD=1，
由余弦定理：
可得cosB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$．
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
那么：AC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
故选B．

点评 本题主要考查了正余弦定理的合理运用和计算能力．属于基础题．