Question

7．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC=BD=$\sqrt{5}$，则a=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，设出过一个顶点的三条棱长，由已知求出三条棱长，则a可求．

解答 解：由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，
故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示：
设AF=x，BF=y，CF=z，
则$\sqrt{{x}^{2}+{z}^{2}}=\sqrt{{y}^{2}+{z}^{2}}=\sqrt{5}$，
又$4π×（\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}{2}）^{2}=9π$，
可得x=y=2，∴a=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查球的表面积与体积，考查数学补形思想方法，是中档题．