Question

1．已知矩阵$A=[{\begin{array}{l}1&{-1}\\ a&1\end{array}}]$，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P（0，-1），求矩阵A的两个特征值．

Answer 1

分析 由点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P（0，-1），列出矩阵方程求出a，由此能求出矩阵A的两个特征值．

解答 解：∵矩阵$A=[{\begin{array}{l}1&{-1}\\ a&1\end{array}}]$，其中a∈R，
点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P（0，-1），
∴$[{\begin{array}{l}1&{-1}\\ a&1\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]=[{\begin{array}{l}0\\{a+1}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}0\\{-1}\end{array}}]$，
∴a+1=1，即a=-2，
∴特征多项式$|\begin{array}{l}{λ-1}&{1}\\{2}&{λ-1}\end{array}|$=（λ-1）²-2=0，
解得$λ=1±\sqrt{2}$，
∴矩阵A的两个特征值为${λ}_{1}=1-\sqrt{2}，{λ}_{2}=1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查矩阵的特征值的求法，考查矩阵的特征向量、特征值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．