Question

2．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，且AB=BC=1，AC=CP=PA=$\sqrt{2}$，三棱锥P-ABC的体积为$\frac{1}{6}$，则球O的表面积为11π或3π．

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出球的半径，由三棱锥P-ABC的体积为$\frac{1}{6}$列式求出半径，则球O的表面积可求．

解答 解：如图，

由AB=BC=1，AC=CP=PA=$\sqrt{2}$，可知
面ABC为以∠B为直角的直角三角形，△PAC是边长为$\sqrt{2}$的等边三角形，
取AC中点F，连接OF，则OF⊥平面ABC，
取△PAC的中心E，连接OE，则OE⊥平面PAC，
设球O的半径为R，则OE=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{2}{3}}$，OF=$\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{2}}$，
∴三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\sqrt{{R}^{2}-\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{{R}^{2}-\frac{1}{2}}）=\frac{1}{6}$，
解得：${R}^{2}=\frac{11}{4}$或${R}^{2}=\frac{3}{4}$．
∴球O的表面积为11π或3π．
故答案为：11π或3π．

点评 本题考查球的表面积与体积，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．