Question

7．已知（2x²-$\frac{1}{x}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中各项的二项式系数和为64．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求（2-x³）（2x²-$\frac{1}{x}$）ⁿ展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （1）根据二项式系数的性质求得n=6，从而求得展开式中二项式系数最大的项．
（2）把（2x²-$\frac{1}{x}$）⁶ 按照二项式定理展开，可得（2-x³）（2x²-$\frac{1}{x}$）⁶展开式中的常数项．

解答 解：（1）由题意可得2ⁿ=64，∴n=6，
故展开式中二项式系数最大的项为T₄=${C}_{6}^{3}$•（2x²）³•${（-\frac{1}{x}）}^{3}$=-160x³．
（2）∵（2x²-$\frac{1}{x}$）⁶ 的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•2^6-r•x^12-3r，
（2-x³）（2x²-$\frac{1}{x}$）ⁿ =（2-x³）（2x²-$\frac{1}{x}$）⁶
=（2-x³）（2⁶•x¹²-6•2⁵•x⁹+15•2⁴•x⁶-20•2³•x³+15•2²•1-6•2•x^-3+x^-6），
故此开式中的常数项为2•15•2²+6•2=132．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．