Question

15．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的离心率为$\frac{1}{2}$，则直线y=6x与C的其中一个交点到y轴的距离为$\frac{2}{7}$．

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆的方程可得c的值，结合椭圆的离心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}$=$\frac{1}{2}$，解可得a的值，就可得椭圆的方程，联立直线与椭圆的方程解可得交点的横坐标，即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-3}$，
又由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，则有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解可得a=2；
则椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
联立直线与椭圆的方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=6x}\end{array}\right.$，
解可得x=$\frac{2}{7}$，
则直线y=6x与C的其中一个交点到y轴的距离为$\frac{2}{7}$；
故答案为：$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质与椭圆的标准方程，关键是依据题意求出椭圆的标准方程．