Question

已知椭圆：的离心率为，右焦点为(，0)．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值.

 

Answer 1

(1)（2）见解析

【解析】

试题分析：(1)由离心率，右焦点坐标易得各常量值. (2)先假设，当直线AB斜率存在时，与椭圆方程联立，可得又OA⊥OB，满足根与系数的关系，可得4 m2＝3 k2＋3，代入点到直线的距离可得d＝.

试题解析：（1）由右焦点为(，0)，则，又，所以，

那么 4分

（2） 设，，若k存在，则设直线AB：y＝kx＋m.

由，得 6分

＞0， 8分

有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0 10分

代入，得4 m2＝3 k2＋3原点到直线AB的距离d＝. 12分

当AB的斜率不存在时，,可得，依然成立． 13分

所以点O到直线的距离为定值 14分

考点：本题考查椭圆的标准的相关概念，标准方程，直线与圆的位置关系.