Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）据切点处的导数值为曲线切线斜率，由二次函数的秋雨求法，求导函数的范围也就是切线斜率范围；
（2）互相垂直的切线斜率互为负倒数，由（1）求斜率范围，据切点处的导数值为曲线切线斜率，解不等式，求切点横坐标范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x的导数为f′（x）=x²-4x+3
=（x-2）²-1≥-1，
即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1，+∞）；
（2）设其中一条切线的斜率为k，另一条为-$\frac{1}{k}$，
由（1）可知，$\left\{\begin{array}{l}{k≥-1}\\{-\frac{1}{k}≥-1}\end{array}\right.$，
解得-1≤k＜0或k≥1，
由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1，
即有1＜x＜3或x≥2+$\sqrt{2}$或x≤2-$\sqrt{2}$，
得：x∈（-∞，2-$\sqrt{2}$]∪（1，3）∪[2+$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查切点处的导数值为曲线切线斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及化简整理的运算能力，属于中档题．