Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD，点E、F分别为AD、CP的中点，AD=AB=2CD=2．
（Ⅰ）证明：直线EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点M，连结EM，FM，推导出EM∥平面PAB，FM∥平面PAB，从而平面EFM∥平面PAB，由此能证明EF∥平面PAB．
（Ⅱ）连结PE、PM，推导出PE⊥BC，EM⊥BC，从而BC⊥平面PEM，进而平面PBC⊥平面PEM，过点E作EH⊥PM于点H，连结FH，则EH⊥平面PBC，直线EF与平面PBC所成角为∠EFH，由此能求出直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取BC中点M，连结EM，FM，
∵点E、F分别为AD、CP的中点，∴EM∥AB，FM∥PB，
∵EM?平面PAB，AB?平面PAB，∴EM∥平面PAB，
∵FM?平面PAB，PB?平面PAB，∴FM∥平面PAB，
∵EM∩FM=M，EM、FM?平面PEM，
∵平面EFM∥平面PAB，
∵EF?平面PEM，∴EF∥平面PAB．
解：（Ⅱ）连结PE、PM，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，PE⊥BC，
∵EM⊥BC，∴BC⊥平面PEM，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEM，
过点E作EH⊥PM于点H，连结FH，
由平面PBC⊥平面PEM，得EH⊥平面PBC，
∴直线EF与平面PBC所成角为∠EFH，
在直角三角形PEC中，EF=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在直角三角形PEM中，EH=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴sin$∠EFH=\frac{EH}{EF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{7}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．
∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．