Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2cos²（x+$\frac{π}{4}$）+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，
根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，sin（2x+$\frac{π}{3}$）的取值范围，
即可求出f（x）的最大、最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\sqrt{3}$cos2x-2cos²（x+$\frac{π}{4}$）+1
=$\sqrt{3}$cos2x-cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为2，最小值为-$\sqrt{3}$；
且x=$\frac{π}{12}$时f（x）取得最大值2，x=$\frac{π}{2}$时f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是中档题．