Question

19．已知函数f（x）=|x+2|-2|x+1|．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若存在x∈[-2，1]使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）问题转化为：a+1＞（f（x））_min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＜-2}\\{3x+4，-2≤x≤-1}\\{-x，x＞-1}\end{array}\right.$，
∴f（x）的最大值为f（-1）=1，
（2）存在x∈[-2，1]使不等式a+1＞f（x）成立等价于a+1＞f（x）_min，
由（1）可知f（x）在[-2，=1]上递增，在[-1，1]上递减，f（-2）=-2，f（1）=-1．
∴x=-2时，f（x）_min=-2，
即a+1＞-2，解得a＞-3，
∴实数a的取值范围为（-3，+∞）

点评 本题考察了绝对值不等式的解法，考察转化思想，是一道中档题．