Question

1．已知函数f（x）=e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$，a∈R．
（1）若函数g（x）=（x-1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；
（2）当a≤-1时，证明：f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，由题意可知f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；
（2）问题可转换为（x-1）（e^x-1）-ax＞0恒成立，构造函数G（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，通过二次求导，得出结论．

解答 解：（1）g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，
g'（x）=xe^x-a-1，g''（x）=e^x（x+1）＞0，
∵f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，
∴g'（0）=-a-1＜0，g'（1）=e-a-1＞0，
∴-a＜a＜e-1；
（2）当a≤-1时，f（x）＜0，
∴（x-1）（e^x-1）-ax＞0恒成立，
令G（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，
G'（x）=xe^x-a-1，G''（x）=e^x（x+1）＞0，
∴G'（x）在（0，1）单调递增，
∴G'（x）≥G'（0）=-a-1≥0，
∴G（x）在（0，1）单调递增，
∴G（x）≥G（0）=0，
∴（x-1）（e^x-1）-ax≥0，
∴当a≤-1时，f（x）＜0对任意x∈（0，1）成立．

点评 本题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．