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    13．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，已知圆A的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=-1+2sinθ\end{array}\right.$（其中θ为参数），圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ．
    （Ⅰ）分别写出圆A与圆B的直角坐标方程；
    （Ⅱ）判断两圆的位置关系，若两圆相交，求其公共弦长．

    分析 （Ⅰ）圆A的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=-1+2sinθ\end{array}\right.$（其中θ为参数），利用平方关系可得圆A的普通方程．圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
    （Ⅱ）利用两圆的圆心距离与半径的和差半径即可判断出两圆相交．两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，利用弦长公式即可得出．

    解答 解：（Ⅰ）圆A的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=-1+2sinθ\end{array}\right.$（其中θ为参数），利用平方关系可得圆A：（x-1）2+（y+1）2=4．可得圆心A（1，-1），半径R=2．
    圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得：圆B：x2+y2-2y=0，平方可得：x2+（y-1）2=1，可得圆心B（0，1），半径r=1．
    （Ⅱ）∵|AB|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，而R-r=1，R+r=3，
    $1＜\sqrt{5}$＜3，∴两圆相交，
    两个圆的方程相减可得：x-2y+1=0．
    ∴其公共弦长=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1+2+1}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

    点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标互化的公式、圆的标准方程、两圆相交弦长、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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