Question

3．直线$\sqrt{2}$ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A、B两点（其中a、b是正实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则$\frac{1}{ab}$的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 由直线$\sqrt{2}$ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=$\sqrt{2}$．圆心O（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=1的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得2a²+b²=2．然后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵直线$\sqrt{2}$ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，
∴|AB|=$\sqrt{2}$r=$\sqrt{2}$．
∴圆心O（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=1的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为2a²+b²=2．
则2=2a²+b²≥2$\sqrt{2}ab$，
∴$ab≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{1}{ab}≥\sqrt{2}$．
∴$\frac{1}{ab}$的最小值为$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了直线与圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．