Question

9．已知${（{\frac{2}{x}+\sqrt{x}}）^n}$的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（　　）

• A． 15
• B． 30
• C． 45
• D． 60

Answer 1

分析 先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大，求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．

解答 解：因为展开式中只有第四项的二项式系数最大，
所以n=6，
展开式的通项为2^6-rC₆^rx${\;}^{-6+\frac{3}{2}r}$，
令-6+$\frac{3}{2}$r=0，解得r=4，
∴展开式中的常数项等于2²C₆⁴=60，
故选：D

点评 本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．