Question

已知幂函数y=f（x）=x-2m2-m+3，其中m∈[-2，2]，m∈Z，满足
（1）定区间（0，+∞）的增函数；
（2）对任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；
求同时满足（1）（2）的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时f（x）的值域．

Answer 1

考点：幂函数图象及其与指数的关系,幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据幂函数的单调性与指数的关系，可得m∈（-

3

2

，1），结合m∈Z，可得m=-1，或m=0，再结合对任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；可得当m=0时，y=f（x）=x³满足条件，进而可得x∈[0，3]时f（x）的值域．

解答： 解：∵幂函数y=f（x）=x-2m2-m+3在区间（0，+∞）为增函数，
则-2m²-m+3＞0，
即2m²+m-3＜0，
解得：m∈（-

3

2

，1），
又∵m∈Z，
∴m=-1，或m=0，
当m=-1时，y=f（x）=x²为偶函数，不满足f（-x）+f（x）=0；
当m=0时，y=f（x）=x³为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0；
当x∈[0，3]时，f（x）∈[0，27]，
即函数f（x）的值域为[0，27]．

点评：本题考查的知识点是幂函数图象及其指数的关系，幂函数的概念，解析式，值域，熟练掌握幂函数的图象和性质，是解答的关键．