Question

如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在的平面垂直，BD∥AE，BD=2AE，AE⊥AB．
（Ⅰ）若F为CD中点，证明：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）在线段AC上是否存在点N，使CD∥平面BEN，若存在，求

AN

NC

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC中点G，连接FG，AG．由中位线定理证得四边形AEGF是平行四边形，再由线面、
面面垂直的判定和性质，即可得证；
（Ⅱ）在线段AC上假设存在点N，使CD∥平面BEN，当

AN

NC

=

1

2

时，CD∥平面BEN．连接AD，BE交于H，连接NH，在直角梯形ABDE中，由相似知识和平行线分线段成比例的逆定理可得，CD∥NH，再由线面平行的判定定理即可得证．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点G，连接FG，AG．
又F为CD的中点，则FG∥BD，且FG=

1

2

BD，
∵BD∥AE，BD=2AE，
∴AE∥FG，AE=FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴EF∥AG，
∵三角形ABC为等边三角形，
∴AG⊥BC，
∵平面ABC⊥平面ABDE，AE⊥AB，
∴AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，
∴BD⊥AG，又BD∩BC=B，
∴AG⊥平面ABC，
∴EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：在线段AC上假设存在点N，使CD∥平面BEN，
当

AN

NC

=

1

2

时，CD∥平面BEN．
理由如下：
连接AD，BE交于H，连接NH，
在直角梯形ABDE中，△AEH∽△DBH，
则AH：DH=AE：DB=1：2，
又AN：NC=1：2，
在△ACD中，由平行线分线段成比例的逆定理可得，CD∥NH，
∵CD?平面BEN，NE?平面BEN，
∴CD∥平面BEN．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定和性质，同时考查直线与平行的判定定理，注意平面几何知识的运用，属于中档题．