Question

已知函数f（x）=sin²x+2sin（x+π）sin（x+

3π

2

）+3cos²x
（Ⅰ）求函数的单调减区间：
（Ⅱ）若方程f（x）=a+2，x∈[-

π

4

，

π

4

]有两解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调增区间；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

4

]可得f（x）的值域，结合函数的图象可得3≤a+2＜2+

2

由不等式可得结论．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=sin²x+2sin（x+π）sin（x+

3π

2

）+3cos²x
=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）∈[1，2+

2

]，
∵关于x的方程f（x）=a+2，x∈[-

π

4

，

π

4

]有两解，结合函数的图象可知：
∴3≤a+2＜2+

2

，∴m∈[1，

2

）
∴实数a的取值范围为：[1，

2

）．

点评：本题考查三角函数的性质，涉及和差角公式和三角函数的值域，属中档题．