Question

某国庆纪念品，每件成本为30元，每卖出一件产品需向税务部门上缴a元（a为常数，4≤a≤6）的税收．设每件产品的售价为x元，根据市场调查，当35≤x≤40时日销售量与（

1

e

）^x（e为自然对数的底数）成正比．当40≤x≤50时日销售量与x²成反比，已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．记该商品的日利润为L（x）元．
（1）求L（x）关于x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价x为多少元时，才能使L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数解析式的求解及常用方法,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）设出35≤x≤40时，日销售量为k₁(

1

e

)x，40≤x≤50时，日销售量为

k2

x2

，再由条件求出比例系数，从而得到该商品的日利润L（x）；
（2）运用导数分别求出35≤x≤40时，40≤x≤50时函数的最大值，再加以比较，即可得到所求的最大值．

解答： 解：（1）当35≤x≤40时，由题意得日销售量为k₁(

1

e

)x，
售价为40元时，日销售量为10件，故k₁(

1

e

)40=10，k₁=10e⁴⁰
当40≤x≤50时，由题意日销售量为

k2

x2

售价为40元时，日销售量为10件，故

k2

1600

=10，k₂=16000
所以该商品的日利润L（x）=

(x-30-a)• 10e40 ex ，35≤x＜40 (x-30-a)• 16000 x2 ，40≤x＜50

．
（2）当35≤x≤40时，L(x)=(x-30-a)

10e40

ex

L′(x)=10e40

31+a-x

ex

，4≤a≤6，35≤31+a≤37，
因为35≤x≤40，令L'（x）=0得x=a+31
当35≤x≤a+31时L'（x）＞0
当a+31≤x≤40时L'（x）＜0
故L_max（x）=L（a+31）=10e^9-a
当40≤x≤50时，L(x)=(x-30-a)

16000

x2

显然L（x）在40≤x≤50时，
L′(x)=

16000(x2-(x-30-a)2x)

x4

=

16000(-x2+(60+2a)x)

x4

=

16000(60+2a-x)

x3

＞0
所以L（x）在40≤x≤50时为增函数
故40≤x≤50时L_max（x）=L（50）
又L（a+31）=10e^9-a≥10e³L(50)=

32

5

(20-a)≤

32×16

5

，
故L（a+31）＞L（50）
于是每件产品的售价x为a+31时才能使L（x）最大，L（x）的最大值为10e^9-a

点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的解析式的求法，考查运用导数求函数的最值，属于中档题．