Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（1，

2

2

），离心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l与椭圆E相交于A，B两点．
①当直线OA，OB的斜率之和为

4

3

时（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k；
②求

MA

•

MB

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，以及点在椭圆上，列出方程，解出a，b，c，得到椭圆方程；
（Ⅱ）①设直线l：y=kx+2，联立椭圆方程，消去y得，（1+2k²）x²+8kx+6=0，由判别式大于0，运用韦达定理
再由直线OA，OB的斜率之和为

4

3

，即可求出k；
②当直线l的斜率不存在，直线l：x=0，求出A，B的坐标，求得

MA

•

MB

=3；
当直线l的斜率存在时，由（Ⅱ）①得，求出

MA

•

MB

，化简得到3+

3 2

k2+ 1 2

，再由判别式大于0，即可得到范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得，e=

c

a

=

2

2

，a²=b²+c²，解得a²=2c²，b²=c²，
设椭圆E：

x2

2c2

+

y2

c2

=1，由于椭圆过点P（1，

2

2

），
则

1

2c2

+

1

2c2

=1，c²=1，b²=1，a²=2，
所以椭圆方程E：

x2

2

+y²=1．
（Ⅱ）①设直线l：y=kx+2，联立椭圆方程，消去y得，（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由于直线l与椭圆E相交于A，B两点，则△=8（2k²-3）＞0，即k²＞

3

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-8k

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

，y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
又k_OA+k_OB=

y1

x1

+

y2

x2

=2（k+

x1+x2

x1x2

）=2（k-

8k

6

）=-

2

3

k=

4

3

，则k=-2．
经检验成立，所以直线l的斜率为-2；
②当直线l的斜率不存在，直线l：x=0，
将x=0代入椭圆方程得，y=±1．则A（0，1），B（0，-1），
所以

MA

•

MB

=（0，-1）•（0，-3）=3．
当直线l的斜率存在时，由（Ⅱ）①得，

MA

•

MB

=（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）=
x₁x₂+k²x₁x₂=（k²+1）x₁x₂=

6(k2+1)

1+2k2

=3+

3 2

k2+ 1 2

由于k²＞

3

2

，所以k²+

1

2

＞2，
所以3＜3+

3 2

k2+ 1 2

＜

15

4

．
综上，

MA

•

MB

的取值范围是[3，

15

4

）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去一个未知数，运用韦达定理，结合平面向量的数量积和斜率之和，解决问题的方法，考查化简运算的能力，属于中档题．