Question

已知数列{

2n

an

}为等差数列，且a₁=1，a₂=

4

3

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

n+1

(n+2)•2n

•a_n，求数列{

bn

n

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知结合等差数列定义求出数列{

2n

an

}的公差，然后代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的数列{a_n}的通项公式代入b_n=

n+1

(n+2)•2n

•a_n，整理后利用裂项相消法求数列{

bn

n

}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由已知可得，数列{

2n

an

}的公差为

22

a2

-

21

a1

=

4

4 3

-2=1，
∴

2n

an

=2+(n-1)=n+1，an=

2n

n+1

；
（2）由（1）得，bn=

1

n+2

，
∴

bn

n

=

1

(n+2)•n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

n(3n+5)

2(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．