Question

已知函数f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a∈[-8，0]，使得函数f（x）在区间[-4，0]上的最小值为7？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由于函数f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1的对称轴方程为x=a-2，（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则有a-2≤1，由此求得实数a的取值范围．
（2）分①当a-2＜-4时、②当-4≤a-2≤0时、③当a-2＞0时三种情况，分别根据函数f（x）在区间[-4，0]上的最小值为7求得a的值，综合可得结论．

解答： 解：函数f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1的对称轴方程为x=a-2，
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则有a-2≤1，求得a≤3，故实数a的取值范围为（-∞，3]．
（2）①当a-2＜-4时，即a＜-2时，函数f（x）在区间[-4，0]上是增函数，最小值为f（-4），
再由f（-4）=16+8a-16+a²+1=7，求得a=-4±

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，不满足a∈[-8，0]．
②当-4≤a-2≤0时，即-2≤a≤2时，函数f（x）在区间[-4，0]上的最小值为f（a-2），
再由f（a-2）=4a-3=7，求得a=

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，不满足a∈[-8，0]．
③当a-2＞0时，即a＞2时，函数f（x）在区间[-4，0]上是减函数，最小值为f（0），
再由f（-4）=a²+1=7，求得a=±

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，其中a=-

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 满足a∈[-8，0]．
综上可得，存在a=-

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 满足条件．

点评：本题主要考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．