Question

已知函数f（x）=x³+ax²-x-3在x=-1时取得极值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）首先求出f′（x），利用x=-1时取得极值，则f′（-1）=0，得到关于a的方程求出a；
（Ⅱ）令f′（x）=0，得到x=-1或者x=

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，列表求出f（x）在[-2，1]上的最大值．

解答： 解：（I）f′（x）=3x²+2ax-1．
∵f（x）在x=-1时取得极值，所以f′（-1）=0，
即3-2a-1=0解得a=1．
经检验，a=1时，f（x）在x=-1时取得极小值．
∴f（x）=x³+x²-x-3．                                  
（II）f′（x）=3x²+2x-1，
令f′（x）=0，解得x=-1或x=

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； 
x∈[-2，1]时，f′（x）和f（x） 变化如下：

由上表可知函数f（x）在区间[-2，1]上的最大值为-2．

点评：本题考查了利用导数求函数闭区间上的最值问题．