Question

如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2，
（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-FD-B的正切值；
（Ⅲ）求点D到平面BEF的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，由已知条件推导出四边形AFGO是平行四边形，由此能够证明AC∥平面BEF．
（Ⅱ）以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDF的法向量、平面ADF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-FD-B的正切值；
（Ⅲ）利用向量法能求出点D到平面BEF的距离．

解答： （Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，
∴OG∥DE，且OG=

1

2

DE．
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AF∥OG，且OG=AF，
∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．
∴FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．
（2）解：∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，
∴以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵DE=DA=2AF=2，
∴B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），D（0，0，0），
∴

BF

=（0，-2，1），

BD

=（-2，-2，0），
设平面BDF的法向量

m

=（a，b，c），则

-2b+c=0 -2a-2b=0

，
∴

m

=（-1，1，2），
∵平面ADF的法向量（0，1，0），
∴二面角A-FD-B的余弦值为

2

6

，∴正切值为

2

2

；
（3）解：设平面BEF的法向量

n

=（x，y，z），则

-2x-2y+2z=0 -2y+z=0

，
∴

n

=（1，1，2），
∴点D到平面BEF的距离d=

| BD • n |

| n |

=

2 6

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查平面与平面所成角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．