Question

已知sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

，（

π

2

＜α＜π），求下列各式的值：
（Ⅰ）sinα-cosα；
（Ⅱ）sin³（

π

2

-α）-cos³（

π

2

+α）．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用已知条件通过诱导公式化简以及同角三角函数的基本关系式求解sinα-cosα；
（Ⅱ）化简sin³（

π

2

-α）-cos³（

π

2

+α）结合已知条件以及第一问的结论求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

，（

π

2

＜α＜π），
∴sinα+cosα=

2

3

，∴2sinαcosα=-

7

9

∴（sinα-cosα）²=（sinα+cosα）²-4sinαcosα=

2

9

+

14

9

=

16

9

，
∵

π

2

＜α＜π，
∴sinα-cosα=

4

3

．
（Ⅱ）sin³（

π

2

-α）-cos³（

π

2

+α）
=cos³α+sin³α
=（sinα+cosα）（sin²α+cos²α-sinαcosα）=

2

3

(1+

7

18

)=

25 2

54

．

点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，是中档题．