Question

如图，AB为⊙O的直径过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，若AB=BC=2，则CD的长为

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：证明△CED∽△CBE，利用弦切角的知识证明CE²=CD•CB，在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，利用CE²=CD•CB，代入CE即可得出CD的长．

解答： 解：连接BE．
∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°
∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°                  
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO       
∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，
∵∠C=∠C，∴△CED∽△CBE，
∴CE²=CD•CB       
∵OB=1，BC=2，∴OC=

5

，∴CE=OC-OE=

5

-1        
（

5

-1）²=2CD，∴CD=3-

5

．
故答案为：3-

5

点评：本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知识点，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．