Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC₁的中点，E为A₁B₁的中点．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求直线A₁B₁到平面DAB的距离；
（3）求二面角A-BD-C的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明A₁B₁⊥平面EDC₁，A₁B₁∥AB，即可证明AB⊥DE；
（2）取AB中点为F，连结EF，DF，过E作直线EH⊥DF于H点，则EH⊥平面DAB，EH就是直线A1B1到平面DAB的距离；
（3）过A作AM⊥BC于M点，则AM⊥平面CDB，过M作MN⊥BD于N点，连结AN，则AN⊥BD，∠ANM即为所求二面角的平面角．

解答： （1）证明：连结C₁E，则C₁E⊥A₁B₁，
又∵A₁B₁⊥C₁C，∴A₁B₁⊥平面EDC₁，∴A₁B₁⊥DE，
而A₁B₁∥AB，∴AB⊥DE．…（3分）
（2）解：取AB中点为F，连结EF，DF，则EF⊥AB，∴AB⊥DF．
过E作直线EH⊥DF于H点，则EH⊥平面DAB，∴EH就是直线A1B1到平面DAB的距离．
在矩形C₁EFC中，∵AA₁=AB=2，∴EF=2，C₁E=

3

，DF=2，
∴在△DEF中，EH=

3

，…（7分）
故直线A₁B₁到平面DAB的距离为

3

．
（3）解：过A作AM⊥BC于M点，则AM⊥平面CDB，
过M作MN⊥BD于N点，连结AN，则AN⊥BD，∴∠ANM即为所求二面角的平面角，
在Rt△DCB中，BC=2，DC=1，M为BC中点，∴MN=

5

5

，
在Rt△AMN中，tan∠ANM=

AM

MN

=

15

…（12分）

点评：本题考查线面垂直，线面距离，考查面面角，综合性强，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．