Question

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₃是a₂与a₄的等差中项，且以a₃-2，a₃，a₃+2为边长的三角形是直角三角形．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=2，且b_n+1=b_n+a_n+n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用以a₃-2，a₃，a₃+2为边长的三角形是直角三角形，求出a₃，利用a₁+a₃是a₂与a₄的等差中项，求出公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用叠加法，可求数列{b_n}的通项公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵以a₃-2，a₃，a₃+2为边长的三角形是直角三角形，
∴（a₃-2）²+a₃²=（a₃+2）²，
∵a₃≠0，
∴a₃=8，
∵a₁+a₃是a₂与a₄的等差中项，
∴2（a₁+a₃）=a₂+a₄，
∴2（

8

q2

+8）=

8

q

+8q，
∴q=2，
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n+n，
∴b_n+1-b_n=a_n+n，
∴b_n-b₁=（2+2²+…+2^n-1）+（1+2+…+n-1）=

2(1-2n-1)

1-2

+

n(n-1)

2

，
∴b_n=2ⁿ+

n(n-1)

2

．

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．