Question

已知函数f（x）=x-

2

x

-mlnx（m∈R）．
（Ⅰ）若m=4，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）单调递增，求m的取值范围；
（Ⅲ）求g（x）=f（x）+（m+3）lnx+1的零点个数．（ln2≈0.693，ln3≈1.099）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）将m=4代入函数的表达式，求出函数的导数，则有k=f′（1）=-1，且f（1）=1，代入切线方程即可，
（Ⅱ）先求出函数的导数，由题意得出有f′（x）≥0，通过讨论m的范围，解不等式求出即可，
（Ⅲ）先求出g（x）=x-

2

x

+1-3lnx，则g′（x）=1+

2

x2

-

3

x

=

(x-1)(x-2)

x2

．从而求出函数的单调区间，进而得出函数的极值，从而求出函数的零点个数．

解答： 解：（Ⅰ）m=4 时，f（x）=x-

2

x

-4lnx，
f′（x）=1+

2

x2

-

4

x

，
则有k=f′（1）=-1，且f（1）=1，
故所求切线方程为x+y=0．     
（Ⅱ） f′（x）=1+

2

x2

-

m

x

=

x2-mx+2

x2

（　x＞0　），
因为 f（x）在（0，+∞） 单调递增，因此有f′（x）≥0，
即x²-mx+2≥0 在（0，+∞） 恒成立．
当m＞0 时，需m²-8≤0，解得m∈（0，2

2

）．
当m≤0 时，x²-mx+2≥0在 （0，+∞）恒成立，符合题意．
综上，m∈（-∞，0]∪（0，2

2

]即m∈（-∞，2

2

）． 
（Ⅲ）g（x）=f（x）+（m-3）lnx+1=x-

2

x

+1-3lnx，
 则g′（x）=1+

2

x2

-

3

x

=

(x-1)(x-2)

x2

．
令g′（x）=0，得x=1和x=2．
x、g′（x）与g（x）在（0，+∞）上的情况如下：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由此可知，g（x）的极大值为g（1）=0，
g（x）的极小值为g（2）=2-3ln2＜0，
且g（3）=

10

3

-2ln3＞0，
故g（x） 在（0，+∞）有两个零点．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，切线方程，是一道综合题．