Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA₁=2，点E、M分别为A₁B，C₁C的中点，过点A₁、B、M三点的平面ABMN与棱C₁D₁相交于点N
（1）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁
（2）求三棱锥A₁-DEM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取A₁B₁的中点F，连EF，C₁F；证明EF∥C₁M，从而EM∥平面A₁B₁C₁D₁；（2）体积转化，三棱锥A₁-DEM的体积等于三棱锥A₁-NDM的体积．

解答： 解：（Ⅰ）（方法1 ）证明：取A₁B₁的中点F，连EF，C₁F
∵E为A₁B中点∴EF∥

1

2

BB₁
又∵M为CC₁中点∴EF∥C₁M
∴四边形EFC₁M为平行四边形∴EM∥FC₁
而EM?平面A₁B₁C₁D₁，FC₁?平面A₁B₁C₁D₁
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁
（方法2 ）可以证明四边形A₁EMN为平行四边形．

（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得EM∥A₁N又MN∥A₁E
∴四边形A₁EMN为平行四边形．
∴N点和E点到平面A₁DM的距离相等．
∴VA1-DEM=VE-A1DM
=VN-A1DM=VA1-NDM；
S△NDM=2•4-

1

2

•22-

1

2

•2•1-

1

2

•4•1=3．
VA1-EDM=VA1-NDM=

1

3

•3•4=4

点评：考查了线面平行的判定定理及体积的转化思想，属于中档题．