Question

已知函数f（x）=x³-3x²+3．
（Ⅰ）求过点（3，3）与曲线f（x）相切的直线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+

3

2

kx²-6kx-

13

2

（k＞0）有且只有一个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设切点为（x，y），则可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x处的切线斜率，便可建立关于x的方程．从而可求方程；
（Ⅱ）求导数，利用函数g（x）=x³-3x²+3+

3

2

kx²-6kx-

13

2

（k＞0）有且只有一个零点，可得g（2）g（-k）＞0或k=-2，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）若直线与曲线切于点（x，y）（x≠0），则k=

y-3

x-3

=x²，
∵y′=3x²-6x，
∴x²=3x²-6x，
∴x=0，或x=3，
∴过点（3，3）与曲线f（x）相切的直线方程为y-3=0或9x-y-24=0．
（Ⅱ）g′（x）=3x²-6x+3kx-6k=3（x-2）（x+k），
∵函数g（x）=x³-3x²+3+

3

2

kx²-6kx-

13

2

（k＞0）有且只有一个零点，
∴g（2）g（-k）＞0，
∴（-6k-7.5）（0.5k³+3k-3.5）＞0，
∴-

5

4

＜k＜1．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查求实数k的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．