Question

已知A（1，0），B（-1，0），P是平面上的一个动点，且满足|

PA

|•|

AB

|=

PB

•

AB

，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线y=x+m（m≠0）与点P的轨迹交于M，N两点，且

OM

⊥

ON

，求m．

Answer 1

考点：轨迹方程,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用向量的数量积公式，即可求点P的轨迹方程；
（2）直线y=x+m代入抛物线方程，利用

OM

⊥

ON

，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即可求m．

解答： 解：（1）设P（x，y），则
∵A（1，0），B（-1，0），|

PA

|•|

AB

|=

PB

•

AB

，
∴2

(x-1)2+y2

=2（x+1），即y²=4x；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则直线y=x+m代入抛物线方程可得x²+（2m-4）x+m²=0，则x₁+x₂=4-2m，x₁x₂=m²，
∵△＞0，∴m＜1，
∵

OM

⊥

ON

，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=m²+4m=0，
∴m=0或-4，
∵m＜1且m≠0，
∴m=-4．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．