Question

已知椭圆C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点且交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）若椭圆的左顶点为（-2，0），离心率e=

1

2

，求椭圆C的方程；
（2）设向量

OP

=λ（

OA

+

OB

）（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知a=2，e=

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=x-c．由

y=x-c x2 a2 + y2 b2 =1

，得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出λ的取值范围．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）由已知a=2，e=

c

a

=

1

2

，
∴c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）．
（2）设直线l的方程为y=x-c．
由

y=x-c x2 a2 + y2 b2 =1

，得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0，
∴x1+x2=

2a2c

a2+b2

，从而y1+y2=

-2b2c

a2+b2

．…（5分）
∴

OA

+

OB

=(

2a2c

a2+b2

，

-2b2c

a2+b2

)，

OP

=λ(

OA

+

OB

)=(

2λa2c

a2+b2

，

-2λb2c

a2+b2

)，
∵点P在椭圆C上，∴

( 2λa2c a2+b2 )2

a2

+

( -2λb2c a2+b2 )2

b2

=1…（8分）
4λ²a²c²+4λ²b²c²=（a²+b²）²，
解得λ2=

a2+b2

4c2

…（10分）
∴c2+b2=a2，e=

c

a

，且0＜e＜1，
∴λ2=

a2+b2

4c2

=

2a2-c2

4c2

=

1

2e2

-

1

4

＞

1

4

又λ＞0，∴λ＞

1

2

即λ的取值范围是(

1

2

，+∞)．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．