Question

设函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）若k，n∈N^*，且1≤k≤n，证明：

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e-1

(1-

1

en

)．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；
（Ⅱ）根据函数的导数与最值的关系确定实数a的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，f（x）=lnx-x的最大值为-1，从而可证．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-a（x＞0）
当a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，f'（x）＞0⇒x∈(0，

1

a

)；
f'（x）＜0⇒x∈(

1

a

，+∞)，
∴f（x）在(0，

1

a

)上是增函数，f（x）在(

1

a

，+∞)上是减函数．
（2）lnx＜ax对于（0，+∞）上恒成立?f（x）_max＜0
由（1）知：a≤0时，舍．
当a＞0时，f(x)max=ln

1

a

-1＜0
∴a＞

1

e

，
故a的取值范围是(

1

e

，+∞)．
（3）由（2）知：a=1时，f(x)max=ln

1

a

-1=-1，有lnx-x＜-1，有：lnx＜x-1
令x=1+

k

n

，代入上式⇒ln(1+

k

n

)＜

k

n

⇒nln(1+

k

n

)＜k⇒ln(1+

k

n

)n＜k⇒(1+

k

n

)n＜ek．
所以

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e

+

1

e2

+…+

1

en

=

1

e-1

(1-

1

en

)．
问题得以证明．

点评：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．