Question

已知函数f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用导函数求出切线的斜率，用直线的点斜式方程求切线的方程；
（2）利用导函数值的正负得到函数的单调区间，注意导函数中有参数a，故可能要分类讨论；
（3）利用导数研究函数在区间上的最值情况，得到a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，
f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

=

2x

x2+1

，
∴f′(x)=

2(x2+1)-2x•2x

(x2+1)2

=

-2(x-1)(x+1)

(x2+1)2

．
∴f（0）=0，f′（0）=2．
∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程为：y=2x．
（2）∵f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，
∴f′(x)=

2a(x2+1)-2x(2ax+a2-1)

(x2+1)2

=

-2(ax-1)(x+a)

(x2+1)2

，
①当a=0时，f′（x）=

2x

(x2+1)2

．
所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．        
当a≠0，f′（x）=

-2a(x- 1 a )(x+a)

(x2+1)2

．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-a，x₂=

1

a

，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），（

1

a

，+∞）；单调增区间是（-a，

1

a

）．  …（7分）
③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的单调增区间是（-∞，

1

a

）；单调减区间是（-

1

a

，-a），（-a，+∞）．
（3）解：由（2）得，a=0时不合题意．                       
当a＞0时，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，

1

a

）单调递增，在（

1

a

，+∞）单调递减，
若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，
则f（0）≤f（2），且

1

a

＜2，
即a²-1≤

a2+4a-1

5

且a＞

1

2

，
解得：

1

2

＜a≤

1+ 5

2

，
当a＜0时，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增，
若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，
则f（0）≥f（2），且-a＜2，
即a²-1≥

a2+4a-1

5

且a＞-2，
解得：-2＜a≤

1- 5

2

，
综上，a的取值范围是（-2，

1- 5

2

]∪（

1

2

，

1+ 5

2

]．

点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题