Question

已知数列{a_n}满足

an+1+an-1

an+1-an+1

=n（n∈N^*），且a₂=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an

n+c

（n∈N^*，c为非零常数），若数列{b_n}是等差数列，记c_n=

bn

2n

，S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把式子“

an+1+an-1

an+1-an+1

=n”得（n-1）a_n+1-（n+1）a_n=-（n+1），当n≥2时两边同时除以（n+1）（n-1），再进行变形利用叠加法求出a_n，验证：a₁=1，a₂=6是否成立；
（2）由题意求出前三项，再根据等差中项求出c的值，求出b_n=2n，再求出c_n，由错位相减法求出S_n=c₁+c₂+…+c_n的表达式．

解答： 解：（1）由

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，得（n-1）a_n+1-（n+1）a_n=-（n+1），
当n≥2时，有

an+1

n+1

-

an

n-1

=-

1

n-1

，…（3分）
所以，

an+1

n(n+1)

-

an

n(n-1)

=-

1

n(n-1)

=-（

1

n-1

-

1

n

），…（6分）
由叠加法，得当n≥3时，a_n=n（2n-1）．                  …（8分）
把n=1，a₂=6代入

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，得a₁=1，经验证：a₁=1，a₂=6均满足a_n=n（2n-1）．
综上，a_n=n（2n-1），n∈N*．        …（10分）
（2）由（1）可知：b_n=

n(2n-1)

n+c

，于是b₁=

1

1+c

，b₂=

6

2+c

，b₃=

15

3+c

，
由数列{b_n}是等差数列，得b₁+b₃=2b₂，
即

1

1+c

+

15

3+c

=

12

2+c

，解得c=-

1

2

（c=0舍去）．
所以，数列{b_n}是等差数列．所以c=-

1

2

满足题意．
此时，b_n=2n…（13分）
所以，c_n=

bn

2n

=

n

2n-1

．
所以S_n=1+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①
则

1

2

S_n=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，②
①-②得，

1

2

S_n=1+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

得S_n=4-

n+2

2n-1

          （16分）

点评：本题考查等差、等比数列的前n项和公式，裂项相消法和叠加法，错位相减法求数列的和，熟练掌握公式和数学方法是解题的关键．