Question

（1）f（x）=

ln(x+1)

x

（x＞0），求证：若m＞n＞0，则f（m）＜f（n）．
（2）求g（x）=lnx-ax²在[1，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）方法一：设B（m，ln（m+1）），A（n，ln（n+1））为函数y=ln（x+1）图象上两点，通过k_OA＞k_OB证明结果．
方法二：通过函数的对数判断h（x）是减函数，由m＞n＞0可得f（m）＜f（n）．
（2）求出函数的导数，通过g'（x）=0得2ax²=1，当a≤0时，求出最大值为g（2）当a＞0时，求出最大值为g（2），当a≥

1

2

时，求出函数的最大值为g（1），当

1

8

＜a＜

1

2

时g（x）求出函数的最大值即可．

解答： 解：（1）方法一：设B（m，ln（m+1）），A（n，ln（n+1））为函数y=ln（x+1）图象上两点
而f（m），f（n）分别B、A两点与原点连线的斜率，
显然k_OA＞k_OB
即f（m）＜f（n）          …（5分）
方法二：f′(x)=

x x+1 -ln(x+1)

x2

令h(x)=

x

x+1

-ln(x+1)h′(x)=

1

(x+1)2

-

1

x+1

=

-x

(x+1)2

＜0
∴h（x）是减函数
由x＞0得，h（x）＜h（0）=0
∴f'（x）＜0
∴f（x）是减函数
由m＞n＞0可得f（m）＜f（n）       …（5分）
（2）g′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

令g'（x）=0得2ax²=1    …①
当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）在[1，2]上为增函数
∴最大值为g（2）
当a＞0时，由①得x=

1 2a

若

1 2a

≥2即0＜a≤

1

8

时，g'（x）≥0，g（x）在[1，2]上为增函数
∴最大值为g（2）
若

1 2a

≤1即a≥

1

2

时，g'（x）≤0，g（x）在[1，2]上为减函数
∴最大值为g（1），
若1＜

1 2a

＜2即

1

8

＜a＜

1

2

时g（x）在（1，

1 2a

）上为增函数，在（

1 2a

，2）上为减函数
∴最大值为g(

1 2a

)=-

1

2

ln2a-

1

2

综上得：a≤

1

8

时，最大值为ln2-4a

1

8

＜a＜

1

2

时，最大值为-

1

2

ln2a-

1

2

，
a≥

1

2

时，最大值为-a

点评：本题考查函数的导数，单调性的应用，利用函数的导数求解函数的最值的方法，考查计算能力．