Question

已知抛物线的顶点在坐标原点O，开口向上，等腰梯形ABCD下底AB的中点与坐标原点重合，上底DC∥x轴，等腰梯形的高是3，线段DC与抛物线相交于S，R，且SR=4，DA、AB、BC，分别于抛物线相切于点P、O、Q（如图所示）
（1）求抛物线的方程
（2）当上底DC多大时，梯形ABCD面积有最小值，并求其最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设抛物线方程为x²=2py，将R（2，3）代入，可得抛物线的方程；
（2）求出切线BC的方程，可得梯形的上、下底，表示出面积，即可得出结论．

解答： 解：（1）设抛物线方程为x²=2py，则
将R（2，3）代入，可得2p=

4

3

，
∴抛物线方程为x²=

4

3

y；
（2）设Q（m，n）（m＞0），则∵y′=

3

2

x
∴切线BC的方程为y-n=

3

2

m（x-m），
令y=0，可得x=

2n

3m

，y=3，可得x=

6+2n

3m

，
∴S=

1

2

×2（

2n

3m

+

6+2n

3m

）×3=

6+4n

m

=

6

m

+3m≥2

18

=6

2

，
当且仅当m=

2

时，面积最小，此时DC=3

2

．

点评：本题考查抛物线方程，考查梯形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．