Question

在如图所示的几何体中，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，PO=OB=BC=CD，EA=AO=

1

2

CD．
（Ⅰ）求证：PE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出点A，B，P，E共面，BC⊥平面PEAB，从而得到PE⊥BC，由此能证明PE⊥平面PBC．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BD-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：EA∥OP，AO?平面ABP，
∴点A，B，P，E共面，
∵PO⊥平面ABCD，PO?平面PEAB，
∴平面PEAB∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PEAB，∴PE⊥BC，
取OP中点F，连接EF，
∵EA=AO=

1

2

CD，OP=CD，
∴EA=OF，
∴EFOA是平行四边形，
∵PO⊥平面ABCD，
∴OP⊥AB，
∴EFOA是正方形，
∴EF⊥PF，
∵EF=PF，
∴∠EPF=45°，
∵PO=OB，OP⊥AB，
∴∠OPB=45°，
∴∠EPB=90°，
∴PE⊥PB
∴PE⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：由已知知四边形BCDO是正方形，OD、OB、OP两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，设DC=1，
则B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，-0.5，0.5），
设平面BDE的一个法向量为

n1

=（x，y，z），

BD

=（1，-1，0），

BE

=（0，-1.5，0.5），∴

x-y=0 -1.5y+0.5z=0

，
取y=1，则x=1，z=3，从而

n1

=（1，1，3）．
取平面ABD的一个法向量为

n2

=（0，0，1）．
cos＜

n1

，

n2

＞=

3 11

11

，
故二面角E-BD-A的余弦值为

3 11

11

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．