Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，AD=2，E是BC的中点
（1）求证：平面A₁AE⊥D₁DE平面；
（2）求三棱锥A-D₁DE的体积；
（3）求点A₁到平面D₁DE的距离．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由AE⊥ED，AE⊥DD₁证明平面A₁AE⊥D₁DE平面；
（2）确定底面D₁DE与高AE，求三棱锥A-D₁DE的体积；
（3）点A₁到平面D₁DE的距离等于点A到平面D₁DE的距离．

解答： 解：（1）证明：在矩形ABCD中，E是BC的中点，AB=1，AD=2，
则∠AEB=∠DEC=45°
则AE⊥ED，
又∵AE⊥DD₁；
则AE⊥平面D₁DE；
∴平面A₁AE⊥平面D₁DE；
（2）AE=ED=

2

，
S△D₁DE=

1

2

•

2

•1=

2

2

，
h=

2

，
V=

1

3

•S•h=

1

3

•

2

2

•

2

=

1

3

，
（3）∵AA₁∥平面D₁DE，
∴点A₁到平面D₁DE的距离等于点A到平面D₁DE的距离；
∴点A₁到平面D₁DE的距离为

2

．

点评：本题考查了面面垂直的判定及三棱锥的体积求法，同时考查了转化的思想，属于中档题．