Question

设a∈R，函数f（x）=

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x³-9x+2a+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[-2，0]时，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）首先求出导数，然后解不等式，f'（x）＞0的解集是函数的递增区间，f'（x）＜0的解集是函数的递减区间；（Ⅱ）要使不等式在[-2，0]上恒成立，只要使f（x）在[-2，0]的最大值≤0即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，f′（x）=4x²-9，
令f′（x）＞0，解得x＞

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，或x＜-

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；
令f′（x）＜0，解得-

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＜x＜

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．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-

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），（

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，+∞）；
        单调递减区间为(-

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，

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)．
（Ⅱ）要使不等式f（x）≤0在[-2，0]上恒成立，只要使f（x）在[-2，0]的最大值≤0，
由（Ⅰ）得f（x）在（-2，-

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）递增，在（-

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，0）递减，
∴x=-

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2

时，f（x）的最大值为f（-

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）=2a+10，
∴只要2a+10≤0，即a≤-5；
使不等式恒成立的a的取值范围为（-∞，-5]．

点评：本题考查了利用导数求函数的最值以及恒成立问题的处理；
如果一个变量≤常数恒成立，只要变量的最大值≤此常数．