Question

在数列{a_n}中，a₁=1，

an

an-1

=1-

1

n

（n≥2），数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=2（b_n-1）（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）记c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由数列递推式利用累积法求得数列{a_n}的通项公式，把递推式T_n=2（b_n-1）变形，得到数列{b_n}是等比数列，则其通项公式可求；
（2）利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=1，

an

an-1

=1-

1

n

=

n-1

n

（n≥2），
∴

a2

a1

=

1

2

，

a3

a2

=

2

3

，…，

an

an-1

=

n-1

n

（n≥2）．
累积得：

an

a1

=

1

n

，
∴an=

1

n

．
由T_n=2（b_n-1），得b₁=2（b₁-1），b₁=2；
当n≥2时，b_n=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1．
∴数列{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则bn=2n．
（2）∵an=

1

n

，bn=2n，
∴记c_n=

bn

an

=n•2ⁿ．
Sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n．
2Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1．
两式作差得，-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题考查了累积法求数列的通项公式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．