Question

已知曲线C₁的直角坐标方程为

x2

4

+y²=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P是曲线C₁上一点，∠xOP=α（0≤α≤π），将点P绕点O逆时针旋转角α后得到点Q，

OM

=2

OQ

，点M的轨迹是曲线C₂，
（1）求曲线C₂的极坐标方程；
（2）求|OM|的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：

分析：（Ⅰ）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入椭圆方程可得曲线C₁的极坐标方程

cos2θ

4

+sin²θ=

1

ρ2

．在极坐标系中，设M（ρ，θ），P（ρ₁，α），由题意可知，ρ₁=

ρ

2

，α=

θ

2

．由于点P在曲线C₁上，可得

cos2θ

4

+sin²α=

1

ρ 2 1

．由以上即可得曲线C₂的极坐标方程．
（II）由（Ⅰ）得

1

|OM|2

=

1

16

（1+3sin²

θ

2

）．即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为

ρ2cos2θ

4

+ρ²sin²θ=1，即

cos2θ

4

+sin²θ=

1

ρ2

．
在极坐标系中，设M（ρ，θ），P（ρ₁，α），
由题意可知，ρ₁=

ρ

2

，α=

θ

2

．①
∵点P在曲线C₁上，
∴

cos2θ

4

+sin²α=

1

ρ 2 1

．②
由①②得曲线C₂的极坐标方程为

1

ρ2

=

cos2 θ 2

16

+

sin2 θ 2

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

1

|OM|2

=

1

16

（1+3sin²

θ

2

）．
∵

1

|OM|2

的取值范围是[

1

16

，

1

4

]，
∴|OM|的取值范围是[2，4]．

点评：本题考查了椭圆的极坐标方程、直角坐标和极坐标方程、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．