Question

已知双曲线C与双曲线

x2

2

-y²=1有相同的渐近线，且经过点（-3，2）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线y=x+

3

被双曲线C所截得的弦长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出与双曲线

x2

2

-y²=1-y²=1有相同的渐近线的方程，代入点（-3，2），即可求出曲线C的方程
（2）求出直线方程，代入双曲线方程，利用韦达定理，即可求出|AB|．

解答： 解：：（1）设双曲线C的方程为线

x2

2

-y²=λ
将点（-3，2）代入，可得λ=

1

2

，
∴双曲线C的方程为x²-2y²=1；
（2）设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）把直线y=x+

3

与双曲线C的方程为x²-2y²=1联立消去y得；
x2+4

3

x+7=0，
∴x1+x2=-4

3

，x₁x₂=7，
|AB|=

1+( 3 )2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

5

，
故直线y=x+

3

被双曲线C所截得的弦长为4

5

．

点评：本题考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．