Question

设函数f（x）=lnx+

1

2

ax²-（1+a）x（a∈R）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数f（x）在（2，3）上有极值点，求a的范围；
（3）求证：

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

lnn

n

＜

n(n-1)

2

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=

1

x

+ax-（1+a）=

ax2-(1+a)x+1

x

=

(x-1)(ax-1)

x

，分当a≤0时，当0＜a＜1时，当a=1时，当a＞1时，四种情况，讨论可得函数的单调性；
（2）若函数f（x）在（2，3）上有极值点，2＜

1

a

＜3，解得a的范围；
（3）当a=0时，f（x）=lnx-x＜f（1）=-1在（1，+∞）上恒成立，即lnx≤x-1，即

lnx

x

≤

x-1

x

在（1，+∞）上恒成立，进而利用放缩法，可证得结论．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+ax-（1+a）=

ax2-(1+a)x+1

x

=

(x-1)(ax-1)

x

，
∴当a≤0时，f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减；
当0＜a＜1时，f（x）在（0，1]和[

1

a

，+∞）上单调递增，在[1，

1

a

]上单调递减；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，f（x）在（0，

1

a

]和[1，+∞）上单调递增，在[

1

a

，1]上单调递减；
（2）由（1）得若函数f（x）在（2，3）上有极值点，
则2＜

1

a

＜3，
解得

1

3

＜a＜

1

2

；
（3）当a=0时，f（x）在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减；
故f（x）=lnx-x＜f（1）=-1在（1，+∞）上恒成立，
即lnx≤x-1，即

lnx

x

≤

x-1

x

在（1，+∞）上恒成立，
∴

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

lnn

n

＜

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n-1

n

＜1+2+3+…+（n-1）=

n(n-1)

2

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数与对数函数的综合应用，难度较大．