Question

已知极点与坐标原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，两个坐标系单位长度相同，已知倾斜角为α的直线l的参数方程：

x=-1+tcosα y=1+tsinα

（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；
（2）设曲线C与直线l相交于A、B两点，且|AB|=2

3

，求tanα．

Answer 1

考点：直线的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把把参数方程、极坐标化为直角坐标方程，两者联立得直角坐标为A（0，0），B（2，-2），再把它们化为极坐标．
（2）将直线的参数方程带入曲线的直角坐标方程得t²+（2sinα-6cosα）t+6=0，结合题意可得|AB|=2

3

，|t1-t2|=2

3

，由韦达定理以及 sin²α+cos²α=1（0≤α＜π），求得tanα的值．

解答： 解：（1）由ρ=4cosθ得C（x-2）²+y²=4，直线l：x+y=0．
两者联立得直角坐标为A（0，0），B（2，-2），
可得它们的交点的极坐标为A(0，0)，B(2

2

，-

π

4

)．
（2）将直线的参数方程带入曲线的直角坐标方程得t²+（2sinα-6cosα）t+6=0，∵|AB|=2

3

，∴|t1-t2|=2

3

 ①．
由韦达定理得：t₁+t₂=-（2sinα-6cosα），t₁•t₂=6，∴化简①可得 2sinα-6cosα=±6．
再根据 sin²α+cos²α=1（0≤α＜π），求得得

sinα=0 cosα=1

或

sinα= 3 5 cosα=- 4 5

，∴tanα=0或tanα=-

3

4

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，参数的几何意义，属于基础题．