Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（1，0），短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+b与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，求证直线l与以原点为圆心的定圆相切，并求该定圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直接由题意求出c，b的值，结合隐含条件得到a的值，则椭圆C的方程可求；
（2）设出交点坐标，联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系得到两交点横纵坐标的积，代入OA⊥OB得到

|b|

k2+1

=

2 6

3

，即圆的半径，则定圆方程可求．

解答： （1）解：根据题意，c=1，2b=2，b=1，
a²=b²+c²=2，
∴椭圆方程：

x2

2

+y2=1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线y=kx+b代入椭圆方程得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
x1+x2=

-4kb

1+2k2

，x1x2=

2b2-2

1+2k2

．
∵OA⊥OB，
x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0．
(k2+1)•

2b2-2

1+2k2

+kb•

-4kb

1+2k2

+b2=0．
整理得，b2=

2

3

(1+k2)．
而原点到直线AB的距离d即圆的半径r=

|b|

k2+1

=

2 6

3

，
由此得出直线与原点为圆心的圆相切，半径为定长：

2 6

3

．
圆的方程为x2+y2=

8

3

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和椭圆的位置关系，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用一元二次方程根与系数关系解题，是压轴题．