Question

已知圆M的方程为（x+1）²+y²=（2a）²（a为正常数，且a≠1）及定点N（1，0），动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线与直线MP相交于点Q，动点Q的轨迹为曲线Ω．
（1）讨论曲线Ω的曲线类型，并写出曲线Ω的方程；
（2）当a=2时，过曲线Ω内任意一点T作两条直线分别交曲线Ω于A、C和B、D，设直线AC与BD的斜率分别为k₁、k₂，若|AT|•|TC|=|BT|•|TD|，求证：k₁+k₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）分a＞1和a＜1两种情况求曲线Ω的方程；
（2）求出当a=2时的曲线Ω的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，设T（t，s），则直线AC的方程为y=k₁（x-t）+s，联立直线和曲线方程，得到关于x的一元二次方程．由根与系数关系求得|AT|•|TC|，同理求得|BT|•|TD|，由两式相等得到答案．

解答： （1）解：连结QN，则|QN|=|PQ|．
当a＞1时，则点N在圆内
此时|QN|+|QM|=|PQ|+|QM|=|PM|=2a，且2a＞|MN|，
故Q的轨迹为以M，N为焦点的椭圆，此时曲线Ω的方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1；
当a＜1时，则点N在圆外，此时|QN|-|QM|=|PQ|-|QM|=|PM|=2a，且2a＜|MN|，
故Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线，此时曲线Ω的方程为

x2

a2

-

y2

1-a2

=1；
（2）证明：当a=2时，曲线Ω的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
设T（t，s），则直线AC的方程为y=k₁（x-t）+s，
联立方程

y=k1(x-t)+s x2 4 + y2 3 =1

，得(4k12+3)x2+8k1(s-k1t)x+4[(s-k1t)2-3]=0．
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x1+x2=-

8k1(s-k1t)

4k12+3

，x1x2=

4[(s-k1t)2-3]

4k12+3

．
∴|AT|•|TC|=(1+k12)|(x1-t)(x2-t)|=(1+k12)|x1x2-t(x1+x2)+t2|
=(1+k12)|

4[(s-k1t)2-3]

4k12+3

+

8k1t(s-k1t)

4k12+3

+t2|                                    
=(1+k12)|

4s2+3t2-12

4k12+3

|．
同理，直线BD的方程为y=k₂（x-t）+s，
则|BT|•|TD|=(1+k22)|

4s2+3t2-12

4k22+3

|．
∵|AT|•|TC|=|BT|•|TD|，
∴(1+k12)|

4s2+3t2-12

4k12+3

|=(1+k22)|

4s2+3t2-12

4k22+3

|．
又T为曲线Ω内任意一点，
∴

t2

4

+

s2

3

＜1，即4s²+3t²-12＜0，

1+k12

4k12+3

=

1+k22

4k22+3

，
∴k12=k22．
又直线AC与BD不重合，
∴k₁+k₂=0为定值．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．