Question

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若a≥2-4ln2，求证：函数f（x）在（0，

1

2

）上无零点．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）将a=1代入，利用导数法，分析函数f（x）的单调性，进而可得f（x）的最小值；
（2）利用导数法，分析函数f（x）的单调性，由a≥2-4ln2，可得f（x）在（0，

1

2

）上为减函数，进而由f（

1

2

）≥0得到结论．

解答： 解：（1）当a=1时，函数f（x）=（x-1）-2lnx．
f′（x）=1-

2

x

，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
故当x=2时，函数取最小值1-2ln2；
证明：（2）∵f′（x）=（2-a）-

2

x

，
当0＜x＜

2

2-a

时，f′（x）＜0，当x＞

2

2-a

时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，

2

2-a

）上为减函数，在（

2

2-a

，+∞）上为增函数，
若a≥2-4ln2，则

2

2-a

＞

1

2

故当x=

1

2

时，函数取最小值-1+

1

2

a+2ln2≥0；
即函数f（x）在（0，

1

2

）上无零点．

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，是函数零点与导数的综合应用，难度中档．