Question

已知函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期，单调递减区间和图象的对称轴方程；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

3

]，求函数f（x）的值域；
（3）已知锐角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，若f（A-

π

6

）=1，BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的长．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+

π

6

），可得函数的周期．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，求得x的解析式，可得函数图象的对称轴方程．
（2）当x∈[-

π

4

，

π

3

]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．
（3）在锐角三角形ABC中，由f（A-

π

6

）=sin（2A-

π

6

）=1，求得A=

π

3

．再根据 BC=

7

，sinB=

21

7

，利用正弦定理求得AC的值．

解答： 解：（1）函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

），
故函数的周期为

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，求得 x=

kπ

2

+

π

6

，可得函数图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

，k∈z．
（2）当x∈[-

π

4

，

π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，∴sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，即函数f（x）的值域为[-

3

2

，1]．
（3）已知锐角三角形ABC中，f（A-

π

6

）=sin（2A-

π

6

）=1，∴2A-

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

．
再根据 BC=

7

，sinB=

21

7

，利用正弦定理可得

AC

sinB

=

BC

sinA

，即

AC

21 7

=

7

3 2

，∴AC=2．

点评：本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性、单调性、对称性，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于基础题．